統計/確率と期待値

確率と確率変数 †

確率変数の説明 †

まずは例。 あるテストをしたとしよう。スコアが a1,a2,..ai,..aN 点のいずれかで、aiのスコアのヒトがri 人いるとする。(Σri= n 人とする)。このとき確率変数 X を

P(X = ai):= ri/n   (i=1,2,...N)

と定義すると X は勝手に選んだ人が何点であるかを表す離散型の確率変数である。 pi:= ri/n と定義すると

P(X= ai):= pi

と書く事ができる。

たとえば n=10として

a1=10, r1=3
a2=20, r2=5
a3=30, r3=2

とすると(10点のヒトが3人、20点のヒトが5人、30点のヒトが2人)

P(X=a1)= 3/10, P(X=a2)= 5/10, P(X=a3)= 2/10

となるわけですね。

平均(期待値)の定義 †

さてこの場合の平均値(期待値)は 3/10が10点、5/10が20点、2/10が30点なので、平均 E[X] = 10・3/10 + 20・5/10 + 30・2/10 つまり一般的に書くと

E[X] = 1/n Σ ai・ri = Σ ai・pi

となると思います。

そこでちゃんとしたXの平均を以下のように定義します。

Xを離散型確率変数とし、確率分布が

P(X= ai):= pi

とする。このとき

E[X] := Σ ai・pi

をXの平均(期待値)と定義します。

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